Оленёнок, если имущество и ребенка через суд не планируете делить, то к мировым судьям надо. Они в Костроме где-то в районе автовокзала находятся, забыла название улицы, может кто-то другой подскажет :? Там все нюансы лучше и узнавать. Обычно исковое заявление нужно писать (кажется, в двух экземплярах), заявление на алименты, квитанцию об оплате госпошлины принести (в сбере прямо в кассе можно сказать, что госпошлина за развод, у них должны быть реквизиты), копию паспорта, копию свидетельства о рождении ребенка.
А по поводу времени сложно сказать - зависит от загруженности судей.